«Вы, профессор, воля ваша, что-то нескладное придумали! Оно, может, и умно, но больно непонятно. Над вами потешаться будут.»

М. Булгаков, Мастер и Маргарита

Несколько раз порывался написать небольшую статейку на данную тему, но каждый раз останавливало то, что не все, кто интересуется данным вопросом, уже прошли школьную физику, а тем более знакомы с высшей математикой.

Я постараюсь быть предельно простым в изложении, но, к сожалению, для понимания связи между различными параметрами без формул не обойтись. Если кому-то все это покажется сложным, скучным и непонятным, то заранее приношу извинения, и рекомендую обратить внимание только на результирующие зависимости, а выводы формул просто пропустить. При этом я не собираюсь здесь излагать сложные вопросы теории, для этого есть специальная литература, а дать понимание сути вопроса, которая многими теоретиками заслоняется частоколом формул, поскольку пишут они свои труды не для начинающих авиамоделистов, а для таких же теоретиков, как они сами. Я к тому, что то, что здесь написано, не является строгим научным трактатом, поэтому больших ученых прошу расслабиться.

Часть I. Законы

Начать вынужден издалека, а именно с законов достопочтенного Исаака Ньютона. То, что написано ниже, может показаться излишним и очевидным, но мой жизненный опыт показывает, что это не так, и оно понадобится при обсуждении разных тем, поэтому желательно вдуматься и запомнить суть изложенного, ведь повторение – мать учения!

Итак, Первый закон Ньютона в простой формулировке гласит, что если на тело не действует никакая ВНЕШНЯЯ сила, то оно находится либо в состоянии покоя, либо движется равномерно (с постоянной скоростью) и прямолинейно. А что значит «не действует никакая сила»? В природе такое практически невозможно. Обязательно что-то да действует! На самом деле мы говорим о ситуации, при которой все действующие силы УРАВНОВЕШИВАЮТ друг друга (равнодействующая всех внешних сил равна нулю). Это та ситуация, например, когда ваша модель летит прямо с постоянной скоростью на постоянной высоте. Здесь тяга мотора уравновешена лобовым сопротивлением, а вес модели – подъемной силой.

А если эти силы не уравновешивают друг друга, а какая-то сила больше той, что ей противодействует? Например, тяга мотора больше лобового сопротивления? Тогда вступает в силу Второй закон Ньютона. Тело будет двигаться с УСКОРЕНИЕМ a (a – acceleration), которое пропорционально действующей силе F (F – force), и обратно пропорционально массе тела m (m – mass). То есть

F = m·a

Есть еще Третий закон Ньютона, который гласит, что любое действие (в механике) порождает равное по величине и противоположное по направлению противодействие. Cкажем, если вы надавите на стоящий автомобиль рукой, пытаясь сдвинуть его с места, то автомобиль «надавит» на вашу руку с точно такой же силой в противоположном направлении. Эта противодействующая сила часто называется реакцией опоры или механической связи. Важность этого Третьего закона Ньютона обычно недооценивают и тогда появляются на свет не существующие в природе вещи. Например, пресловутая «сила» инерции или не менее знаменитая «центробежная» сила.

Как же так! – скажете вы, – мы же все это испытываем на себе! Но дело в том, что инерция в природе есть, а «силы» инерции нет! Инерция это не сила, а СВОЙСТВО материальных тел никуда не двигаться, или двигаться равномерно и прямолинейно согласно Первому закону Ньютона. Во Втором законе Ньютона это свойство выражено МАССОЙ тела m, которое является МЕРОЙ инерции. Другое выражение для инерции в формульном виде записать невозможно. Если провести аналогию с человеческой природой, то инерция это все равно, что ЛЕНЬ человеческая! Вас посылают в магазин за хлебом, а вам лень сдвинуться с места или изменить траекторию движения к пивному ларьку на траекторию движения к булочной… Лень сил никаких не создает, а только сопротивляется внешней силе. Также и «сила» инерции – это на самом деле сопротивление внешней силе, то есть РЕАКЦИЯ механической связи на внешнее воздействие, согласно Третьему закону Ньютона. Если бы инерция создавала внешнюю силу, то ее надо было бы добавить к той системе внешних сил, действующих на модель в полете, о которой шла речь выше. Тогда система сил оказалась бы неуравновешенной и модель бы стала двигаться в противоположном тяге направлении!

Настоятельно прошу, особенно юных моделистов, это запомнить, как таблицу умножения, и вас никогда не смогут запутать заумные рассуждения на тему «силы» инерции. То же касается и «центробежной» силы. Здесь я предлагаю вам самостоятельно продолжить правильное применение законам Ньютона, и ответить на следующий вопрос:

Почему космонавт в космическом аппарате, обращающемся вокруг Земли по круговой орбите, находится в состоянии невесомости, в то время как он, находясь на Земле, и готовясь к полету в горизонтальной центрифуге, также двигаясь по кругу, испытывал большие перегрузки?

Далее, ближе к теме придется вспомнить и о Законе сохранения импульса (или как раньше называли «количества движения»). Его можно сформулировать так: Импульс механической системы является величиной постоянной. А что такое импульс? Импульс можно выразить как произведение массы тела на его скорость, или произведение силы на время ее действия. То есть

F t = m·V = Const

Здесь   t – время (time)

V – скорость (velocity)

Этот закон хорошо иллюстрируется бильярдом. Если один шар, катящийся со скоростью V, ударяет другой шар лоб в лоб (прямой удар), то первый останется на месте, а второй продолжит движение с той же скоростью и в том же направлении. То есть шары обменяются своими «количествами движения» (импульсами), но сама величина импульса не изменится.

Теперь давайте продифференцируем уравнение для импульса по времени t. Получим вот что:

F = dm·V + m·dV

Здесь символом “d” обозначена производная (derivative) параметра по времени. При этом dm – это изменение массы в единицу времени (расход массы), а dV – изменение скорости, то есть ускорение. Тогда можно переписать уравнение в виде:

F = dm·V + m·a

Что видно из этого уравнения? Смотрите, если масса тела не меняется, то dm = 0 и тогда первый член в уравнении пропадает, и мы получили… Верно! Второй закон Ньютона! Значит, Второй закон Ньютона является всего лишь частным случаем более полной зависимости, а именно, он справедлив для случая отсутствия изменения массы тел.

А если нет изменения скорости? Например, ваш моторчик от авиамодели стоит на стенде, вращает винт с постоянной частотой и ОТБРАСЫВАЕТ воздух (расход массы - dm!) с ПОСТОЯННОЙ скоростью V, (то есть a = 0) то получим что? Статическую тягу мотора!

Наконец-то мы подошли к практическим вопросам! Итак, тяга равна произведению расхода отбрасываемого винтом воздуха на скорость, с которой его отбрасывают.

F = dm·V

Только здесь надо сделать одно уточнение, касающееся скорости отбрасывания воздуха. Если бы отбрасываемая масса бралась изнутри объекта, который его отбрасывает, как это происходит в ракетных двигателях, то скорость V была бы скоростью истечения газов ракетного двигателя на срезе сопла. И она не зависит от скорости полета ракеты. Но в нашем случае масса воздуха берется из окружающей среды (атмосферы). И винт ее отбрасывает. А если эта среда сама движется (встречный ветер)? Или движется сам самолет относительно воздуха? В физике неважно, что относительно чего движется, но в этом уравнении для такого случая скорость V надо уменьшить на величину скорости полета v. То есть надо переписать полученное выражение так:

F = dm·(V – v)

Что можно увидеть из этого уравнения? Ну, например, то, что если вы разгоняете модель в горизонтальном полете, то скорость ее полета НИКОГДА не достигнет по величине скорости отбрасываемого винтом воздуха. Почему? Потому что при V = v тяга станет равной нулю. Но лобовое сопротивление то никуда не делось! Более того, оно нарастало по мере роста скорости полета. И равновесие силы тяги и лобового сопротивления наступило гораздо раньше, чем обнулилась тяга. После наступления этого равновесия модель может только лететь с постоянной скоростью.

Таким образом, мы пришли к пониманию максимальной скорости горизонтального полета модели. А может ли модель в принципе лететь быстрее этой граничной максимальной скорости горизонтального полета? Может, но для этого силе тяги надо помочь, добавив к ней силу тяжести. Попросту говоря, разогнаться быстрее этой максимальной скорости можно на пикировании.

Вы можете задаться законным вопросом: ну, хорошо, а какая мне польза от этих заумных формул и рассуждений? Что ж, перейдем к практике.

Часть II. Зависимости

Первое и самое простое, что можно получить из этих формул для практических нужд – это то, что необязательно заниматься замерами скорости полета для, например, подбора сервоприводов для модели. В сети есть простая программка Rudermoment3 для расчета потребного усилия сервопривода. Там задаются размеры управляющей поверхности (например, элерона), угол отклонения и скорость полета модели, а на выходе вы получаете потребное усилие сервопривода. По потребному усилию подбирается сервопривод.

Так вот, какую подставить скорость полета в эту программу? Ответ таков: если у вас есть мини анемометр, то поднеся его к работающему на неподвижной модели на максимальных оборотах мотору, можно замерить скорость V создаваемого винтом «ветра». Это та скорость, которая для вашей модели с этим мотором и винтом будет несколько выше теоретического предела скорости ее полета. Реальная скорость будет меньше, но взяв эту величину для расчета, вы получите потребное усилие сервопривода с необходимым запасом.

Можно применить и другой способ оценки максимальной скорости полета. Рассмотрим случай вертикального пикирования самолета с определенной высоты. Какую максимальную скорость он разовьет? Сразу замечу, что если высота, с которой начинается пикирование, достаточно большая, то в каком режиме работает мотор, с некоторыми упрощающими допущениями, можно считать неважным. Будем считать, что он выключен. И это, пожалуй, лучшее, что должен сделать пилот в этой ситуации. Во всяком случае, на результат последующих выкладок это повлияет мало. Почему? На этот вопрос вы можете попытаться дать ответ самостоятельно, если внимательно читали то, что написано выше.

Итак, смотрим на рисунок.

Рис. 1. Вертикальное пикирование

Здесь символами G и X обозначены соответственно сила тяжести и сила лобового сопротивления, а Н – высота полета. Заметьте, здесь нет «силы» инерции!

Дальше будет сложно. Уравнение движения для этого случая выглядит так.

Здесь параметр называется баллистическим коэффициентом. Обозначим его Он нам понадобится в дальнейшем, и о нем мы поговорим позже. Представляет он собой произведение коэффициента лобового сопротивления Сх на площадь миделя (это площадь максимального поперечного сечения самолета) Sm, деленное на его массу m. Вторая дробь называется скоростным напором и представляет собой произведение плотности воздуха ? на квадрат скорости полета, деленное пополам.

Обычно для таких случаев составляют систему дифференциальных уравнений движения, которые, как правило, можно интегрировать только численными методами на компьютере. Но здесь простой случай и мы попробуем без этого обойтись. Для полноты системы надо добавить кинематическое соотношение:

Исключим из системы время dt,

подставив его в первое уравнение. Получим одно уравнение

Не буду далее утомлять выкладками, скажу лишь, что здесь переменные V и H разделяются и уравнение можно проинтегрировать в квадратурах без помощи численных методов. Результат такой:

Мы получили скорость, которую разовьет ваш самолет, пикируя с высоты Н. Чтобы получить предельную скорость пикирования, надо положить начальную высоту равной бесконечности. Тогда выражение упростится, и будет выглядеть так:

По сути дела это соотношение описывает ситуацию, когда сила лобового сопротивления сравняется с силой тяжести (а в нашем случае она постоянна) и самолет будет далее парашютировать с постоянной скоростью. Чтобы эту скорость получить, надо знать параметры своей модели (масса, площадь миделя), а также коэффициент лобового сопротивления Cx. Плотность воздуха известна, а где взять Сх?

Такие данные имеются, но об этом мы поговорим в следующих разделах. Будучи уже слегка подкованными в механике полета мы также рассмотрим, какая модель более устойчива к ветру, или почему модель по схеме «рама» будет крутить бочки хуже, чем модель классической схемы (а, значит, более устойчива по крену и лучше подходит для видео с борта). У вас есть время над этим поразмыслить до написания мной продолжения, которое следует…

Ю. Арзуманян
yuri_la